A többi művelet hasonlóan bizonyítható. Eszerint lehet úgy közelíteni a számítások eredményét, hogy a két közelítő sorozattal számolunk, és a kapott sorozatnak vesszük a határértékét. Bizonyos esetekben nem kell végtelen sorozatokat használni; ha van képlet a végtelen sorozatokra, akkor a számolásnak a pontos eredménye is megkapható. A végtelen aktualitása [ szerkesztés] A végtelen tizedestörtekkel való számolás definíciója felveti a végtelen aktualitásának kérdését. Ez egy bonyolult metamatematikai kérdés, ami azt feszegeti, hogy a végtelen sok lépésben megkonstruált matematikai objektumok valóban létezőknek tekinthetők-e, vagy csak a konstrukciójuk létezik. Általában az axiómák aktuálisnak veszik a végtelent, de vannak alternatív matematikai rendszerek, amik másként állnak ehhez a kérdéshez. Azonban, amennyiben nem tekintjük aktuálisnak a végtelent, nemcsak hogy nem aktuálisak a műveletek, hanem maguk a végtelen tizedestörtek sem azok.
az olyan tizedes tört, mely végtelen sok számjegyből áll. A véges tiszedes tört véges számu jegyből áll, tehát, számértéke mindig kifejezhető ilyen alakban: a/10 k, ahol, a és k egész számok. A számláló és nevező esetleg rövidíthető; de csakis 2-nek vagy 5-nek valamely hatványaival, mert a nevezőben más törzsszám mint 2 és 5 nem fordul elő. Ha a rövidítést megejtettük, a nevezőben csak 2 m. 5 n alaku szám maradhat; tehát minden véges tizedes tört oly közönséges törtté alakítható, melynek nevezője ilyen alaku 2 m. 5 n és fordítva: minden ilyen nevezőjü közönséges tört átalakítható véges tizedes törtté. Minden más törtszám V. alakjában fejezhető ki oly módon, hogy a számlálót a nevezővel (0-ok folytonos hozzáadásával) elosztjuk. Igy P. 1/3 = 0, 333..., 1/7 = 0, 142857... és pedig, minthogy maradékul mindig a nevezőnél kisebb számot kapunk, tehát okvetetlenül ismétlődniök kell a maradékoknak. Az igy nyert V. szakaszos vagy periodikus és pedig: ha nincs olyan része, mely nem ismétlődik: tiszta szakaszos, ha van olyan része is, mely a szakaszt megelőzi (mely nem ismétlődik): vegyes szakaszos.
Na ilyen a végtelen nem szakaszos tizedestört.
Okostankönyv
Van olyan irányzat, amely a tizedes törteket a törtfogalom nélkül, kizárólag a helyiérték-táblázat alapján tanítja. Így a fogalomalkotás nem a megértésen, hanem a formalizmuson alapul, mindenképpen próbáljuk meg elkerülni. A tizedes törtek bevezetéséhez írjunk fel különböző törteket olyan törtek alakjában, amelyek nevezője 10, 100, 1000, stb., majd írjuk ezeket összeg alakban és helyezzük el a helyiérték-táblázatban! Ezt a törtet tizedes tört alakba írva 23, 451 -et kapunk. A tizedes törtek összehasonlítása, kerekítése, összeadása, kivonása, szorzása, osztása a helyiérték-táblázat alapján történik. Figyeljünk oda, hogy a tizedes törtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel ne csak a tizedes vessző ide-oda léptetését jelentse, hanem a helyiérték-táblázatban a számjegyek nagyobb-kisebb helyi értékre írását. Különösen jól gyakorolhatók ezek a műveletek a mértékegység váltásnál, valamint a mennyiségekkel számolásnál. A 0, a 1 a 2 a 3 … a n … tizedes tört pozitív tagú végtelen sor: amelynek létezik az összege, mert 1-nél nem nagyobb.
A mértani sorozat fogalma Eszköztár: Vegyes szakaszos tizedes tört Vegyes szakaszos tizedes tört- kitűzés Írjuk fel az végtelen szakaszos tizedes törtet közönséges tört alakban! (A 45 számjegycsoport periodikusan ismétlődik. ) Vegyes szakaszos tizedes tört- végeredmény Végtelen szakaszos tizedestört Utasítással megadott sorozat tagjai
A $\left] { - 4, 3} \right[$ nyílt intervallum jelenti az összes olyan valós számot, amelyek nagyobbak mínusz négynél és kisebbek háromnál. A $\left[ { - 4, 3} \right]$ zárt intervallum jelenti az összes olyan valós számot, amelyek nagyobbak vagy egyenlők, mint mínusz négy és kisebbek vagy egyenlők, mint három. Léteznek egyik oldalról nyílt, a másik oldalról zárt intervallumok is. Ábrázoljuk ezeket az intervallumokat számegyenesen! x most valós szám. x nagyobb vagy egyenlő, mint három. x kisebb vagy egyenlő, mint mínusz négy. −4 és 3 mindkét irányból nyílt intervallum, ekkor az intervallum végpontjai nem tartoznak a halmazhoz. −4 és 3 mindkét irányból zárt intervallum, ekkor az intervallum végpontjai is benne vannak a halmazban. Az intervallumokkal ugyanúgy végezhetünk műveleteket, mint más halmazokkal. Vehetjük ezek unióját, metszetét. Sokszínű matematika 10, Mozaik Kiadó, 34–38. oldal Matematika 10, Gondolkodni jó, Műszaki Kiadó, 7–12. oldal Georg Cantor a halmazelmélet atyja, itt olvashatsz róla bővebben: Komjáth Péter: Aki a halmazelmélet paradicsomába vezetett: Georg Cantor (1845–1918)
Ebben a bejegyzésben folytatom a tizedestörtek és a számlálós-nevezős törtek közötti átalakítás megvalósítását. Most a végtelen szakaszos tizedestörtnek keressük meg a számlálós-nevezős tört alakját. A bejegyzés teljes tartalma elérhető a következő linken: ============================== További linkek: – Matematika Segítő - Főoldal – Matematika Segítő - Algebra Programcsomag – Matematika Segítő - Online képzések – Matematika Segítő - Blog ==============================